RINGKASAN MATERI 
                                                  PENCERMINAN 
               
              Definisi: 
              Suatu pencerminan (reflexi) pada sebuah garis s adalah suatu fungsi M  yang didefinisikan untuk 
                                                                               s
              setiap titik pada bidang V sebagai berikut: 
                  a.  jika P  s maka M (P) =P 
                                       s     
                  b.  jika P s maka M (P) =P’ sehingga garis s adalah sumbu PP'. Pencerminan M pada 
                                      s      
                     garis s selanjutnya dilambangkan sebagai M . garis s disebut sumbu refleksi / sumbu 
                                                              s
                     pencerminan / singkat cermin. 
                   
              Teorema  
              Setiap refleksi pada garis adalah suatu transformasi. 
              Bukti: 
              M: V → V 
                s
               I.  Akan dibuktikan Ms surjektif. 
                   Ambil Sebarang  X'V  X' Ms(X). 
                   Menurut definisi jika  X S  maka Ms(X)  X' X  
                   Jadi X'V,X' X  Ms(X),X S 
                   X'V,X' X Ms(X)dengan S sumbu XX’ 
                  Jadi M  surjektif. 
                        s
              II.  Akan dibuktikan M  injektif. 
                                    s
                   Kasus 1 
                   Misalkan  A  A  
                              1    2
                   Untuk     A Smaka Ms(A) A' A . 
                              1               1    1   1
                             A Smaka Ms(A ) A ' A  
                              2               2     2    2
                   Jadi  A ' A ' 
                         1    2
                   Kasus 2 
                   Ambil A S,A Smaka            
                            1      2
                           i).  Ms ( A1 )  A1 '  A1  
                          ii).  A   Ms(A ) A ',yakni S sumbu dari A A '. 
                                 2           2       2                              2  2
                          Karena A Sdan A S maka A ' A '  
                                       1             2                 1     2
                         Kasus 3 
                          Untuk A S,A S,A  A  A ' A ' 
                                     1         2        1      2       1      2
                          Andaikan Ms(A )  Ms(A ). Maka dipenuhi : 
                                               1            2
                           A A 'adalah suatu garis dengan sumbu S, artinya  A A ' S. 
                             1  1                                                          1 1
                           A A 'adalah suatu garis dengan sumbu S, artinya  A A ' S . 
                             2  2                                                           2  2
                          Andaikan A  A , maka menurut teorema tidak ada 2 buah garis yang tegak lurus 
                                          1     2
                          terhadap garis sumbu S yang melalui titik yang sama. 
                          Artinya jika Ms(A )  Ms(A ) maka haruslah  A  A . Padahal diketahui  A  A . 
                                                  1            2                        1     2                            1      2
                          Jadi haruslah  A  A  Ms(A )  Ms(A ). 
                                              1      2            1            2
                   Karena Ms surjektif dan injektif maka berlaku bahwa setiap refleksi pada garis adalah suatu 
                   transformasi. 
                    
                   Definisi: 
                   Suatu transformasi T adalah suatu isometri jika untuk setiap pasang titik P, Q berlaku P’Q’ = PQ 
                   dengan P’ = T(P) dan Q’ = T(Q). 
                    
                   Teorema: 
                   Setiap refleksi pada garis adalah suatu isometri. 
                   Jadi kalau A’ = Ms(A), B = Ms(B) maka AB = A’B’. 
                   Bukti: 
                   Ambil Semarang A, B, A’, B’ V dengan Ms(A) = A’ dan Ms(B) = B’. 
                   Akan ditunjukkan A’B’ = AB. 
                   Kasus I 
                   Jika A, B  S maka Ms(A) = A’ = A dan Ms(B) = B’ = B. 
                   Jadi AB = A’B’  Ms(A)Ms(B) = AB. 
                   Kasus II 
                                                                                                S 
                                                                                                   A = A’ 
             Jika A  S, B  S dan Ms(A) = A’ = A dan Ms (B) = B’ 
             Akan ditunjukkan AB = A’B’ 
             Perhatikan ABC &AB'C 
             AC = AC (berimpit) 
             mABCmACB' (karena siku-siku) 
             BC = B’C (karena S sumbu simetri) 
             Menurut teorema karena ABC &AB'C mempunyai sifat S Sd S yang sama, maka 
             ABCAB'C. 
             Jadi AB = A’B’. 
             Kasus III                                        S 
             Jika A, B  S dan Ms(A) = A’, Ms(B) = B’. 
             Akan ditunjukkan AB = A’B’                   A        A’ 
             Perhatikan BDC &B'DC.                                             
             DC = DC (berimpit)                                         
             mDCBmDCB' (karena siku-siku) 
             BC = B’C (karena S sumbu simetri)         B      C       B’ 
             Menurut teorema karena BDC&B'DC mempunyai sifat S Sd S yang sama maka 
             BDCB'DC. 
             Jadi BD = B’D dan mBDC  mB'DC . 
                                                              0
             Karena mBDC mB'DC dan mADC mA'DC (90 ) 
                  mADB900 mBDC
             Maka mADB900 mB'DC 
                  mABDmA'DB'
             Perhatikan BAD&B'AD 
             AD = A’D (berimpit) 
             mADBmA'DB (dari pernyataan 1) 
             DB = DB’ (diketahui) 
             Menurut teorema karena BAD&B'AD mempunyai sifat S Sd S yang sama maka 
             BADB'AD. 
             Jadi AB = A’B’.
              SOAL LATIHAN 
               
                1.  Diketahui dua titik A dan B. Lukislah garis g sehingga Mg(A) = B. Tentukan pula Mg(B). 
               
               
               
                                   ●                          ● 
                                   A                          B 
                     Mg(A) = B dan Mg(B) = A 
               
                2.  Apabila pada V ada sistem sumbu ortogonal dan A (1,3) sedangkan  
                   B (-2,-1). Tentukan persamaan sebuah garis g sehingga Mg(A) = B! 
                   Diket    : A (1,3), B (-2,-1) 
                   Ditanya: Persamaan garis g sehingga Mg(A) = B 
                   Jawab   :                                                 Y 
                     Persamaan garis AB 
                      y  y     xx
                           1       1                                        3 
                      y  y    x x
                       2   1    2   1                                        2 
                         y 3     x1
                     1321                                              1 
                     3(y3)4(x1)                                   -2  -1  1        X 
                     3y94x4                                           -1 
                     4x3y50
                     Gradien m =  4  
                                  3
                     Gradien yang tegak lurus garis AB, m  = - 3  
                                                        2   4
                     Titik tengah AB =  (1,3) (2,1)  (1,2)  ( 1 ,1) 
                                             2          2        2
                     Persamaan garis yang melalui (1,1) dengan m = 3 adalah 
                                                    2
                     y – y  = m (x – x ) 
                          1         1
                     y – 1 = -  3 (x +  1 ) 
                              4     2