Filetype PDF | Diposting 25 Aug 2022 | 3 thn lalu
Authentication
digital resources
PENYELESAIAN NUMERIK PERSAMAAN LAPLACE DALAM TIGA-
DIMENSI DENGAN SYARAT-SYARAT BATAS
* *
Sangadji Indrijatmaka, ST
ABSTRACT
NUMERICAL SOLUTIONS TO THREE-DIMENSIONAL LAPLACE EQUATIONS
WITH BOUNDARY CONDITIONS. This paper discusses numerical solutions to three-dimensional
Laplace equations in cartesian coordinates of the form
u + u + u = 0,
xx yy zz
in the cube 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ a, 0 ≤ z ≤ a with boundary conditions u(0, y, z) = u if 0 ≤ y ≤ a, 0 < z <
1
a, u(a, y, z) = u if 0 ≤ y ≤ a, 0 < z < a, u(x, 0, z) = u if 0 < x < a, 0 < z < a, u(x, a, z) = u if 0 < x
2 3 4
< a, 0 < z < a, u(x, y, 0) = u if 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ a, u(x, y, a) = u if 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ a where a is a
5 6
positive constant and u , u , u , u , u , u are nonnegative constants.
1 2 3 4 5 6
For h>0 with a/h is a positive integer, numerical solutions at the points (ih, jh, kh), i, j, k = 1,
2,…, a/h-1 will be sought. The method of numerical solutions is based on a finite difference formula,
and the system of linear equations obtained will be solved using Gaussian elimination procedure.
This paper also discusses analytic solutions to the Laplace equations above in a rectangular
box 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b, 0 ≤ z ≤ c with boundary conditions
u(0, y, z) = 0, u(a, y, z) = 0, if 0 ≤ y ≤ b, 0 ≤ z < c
u(x, 0, z) = 0, u(x, b, z) = 0, if 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ z < c
u(x, y, 0) = 0, u(x, y, c) = f(x, y), if 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b
where a, b, c are positive constants and f(x, y) is a prescribed function.
Numerical and analytic solutions of the boundary value problems above in a cube using some
fixed values of a, h, u , u , u , u , u , u will be performed.
1 2 3 4 5 6
ABSTRAK
PENYELESAIAN NUMERIK PERSAMAAN LAPLACE DALAM TIGA-DIMENSI
DENGAN SYARAT-SYARAT BATAS. Makalah ini membahas penyelesaian numerik persamaan
Laplace dalam tiga-dimensi dalam koordinat kartesius yang berbentuk
u + u + u = 0,
xx yy zz
dalam kubus 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ a, 0 ≤ z ≤ a dengan syarat-syarat batas u(0, y, z) = u bila 0 ≤ y ≤ a, 0
1
< z < a, u(a, y, z) = u bila 0 ≤ y ≤ a, 0 < z < a, u(x, 0, z) = u bila 0 < x < a, 0 < z < a, u(x, a, z) = u
2 3 4
bila 0 < x < a, 0 < z < a, u(x, y, 0) = u bila 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ a, u(x, y, a) = u bila 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ a
5 6
, di mana a adalah konstanta positif dan para u , u , u , u , u , u adalah konstanta-konstanta nonnegatif.
1 2 3 4 5 6
Untuk h>0 dengan a/h bilangan bulat positif, penyelesaian numerik pada titik-titik (ih, jh, kh),
i, j, k = 1, 2,…, a/h-1 akan dibahas. Metode penyelesaian numerik yang digunakan didasarkan pada
*
Pusat Pengembangan Teknologi Informatika dan Komputasi BATAN
formula beda hingga, dan sistem persamaan linier yang diperoleh akan diselesaikan dengan prosedur
eliminasi Gauss.
Makalah ini juga membahas penyelesaian analitik persamaan Laplace di atas dalam kotak
tegak 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b, 0 ≤ z ≤ c dengan syarat-syarat batas
u(0, y, z) = 0, u(a, y, z) = 0, bila 0 ≤ y ≤ b, 0 ≤ z < c
u(x, 0, z) = 0, u(x, b, z) = 0, bila 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ z < c
u(x, y, 0) = 0, u(x, y, c) = f(x, y), bila 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b
di mana a, b, c adalah konstanta-konstanta positif dan f(x, y) adalah fungsi yang diketahui.
Penyelesaian numerik dan analitik dari problema syarat batas di atas dalam suatu kubus
menggunakan harga-harga tertentu dari a, h, u , u , u , u , u , u akan dipertunjukkan.
1 2 3 4 5 6
PENDAHULUAN
Persamaan Laplace dalam tiga-dimensi dalam koordinat kartesius berbentuk
u + u + u = 0, (1)
xx yy zz
di mana u = u(x, y, z) adalah fungsi yang akan dicari.
Besaran skalar u ini terdapat dalam problema-problema potensial listrik,
potensial gravitasi, suhu tunak, aliran ideal, dan beberapa fenomena fisika lainnya, yang
merupakan penyelesaian dari persamaan-persamaan Laplace yang disajikan dalam
koordinat kartesius, koordinat silinder atau koordinat bola.
Bagian kedua dari makalah ini akan membahas secara singkat penyelesaian
analitik persamaan (1) dalam kotak tegak 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b, 0 ≤ z ≤ c dengan syarat-
syarat batas
u(0, y, z) = 0, u(a, y, z) = 0, bila 0 ≤ y ≤ b, 0 ≤ z < c (2a)
u(x, 0, z) = 0, u(x, b, z) = 0, bila 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ z < c (2b)
u(x, y, 0) = 0, u(x, y, c) = f(x, y), bila 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b (2c)
di mana a, b, c adalah konstanta-konstanta positif dan f(x, y) adalah fungsi yang
diketahui.
Bagian ketiga membahas penyelesaian numerik dari persamaan (1) di titik-titik
(ih, jh, kh), i, j, k = 1, 2,…, a/h-1 dengan a/h bilangan bulat positif dalam kubus 0 ≤ x ≤
a, 0 ≤ y ≤ a, 0 ≤ z ≤ a dengan syarat-syarat batas
u(0, y, z) = u , u(a, y, z) = u bila 0 ≤ y ≤ a, 0 < z < a (3a)
1 2,
u(x, 0, z) = u , u(x, a, z) = u bila 0 < x< a, 0 < z < a (3b)
3 4,
u(x, y, 0) = u , u(x, y, a) = u , bila 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ a (3c)
5 6
di mana para u , u , u , u , u , u adalah konstanta-konstanta nonnegatif yang harga-
1 2 3 4 5 6
harganya ditentukan sebelumnya.
Bagian keempat merupakan kesimpulan dari makalah ini, yaitu membandingkan
hasil pendekatan dari penyelesaian analitik dengan penyelesaian numerik dari Contoh 2
dalam bagian ketiga.
PENYELESAIAN ANALITIK
Kita tinjau terlebih dulu persamaan Laplace (1) dalam kotak tegak 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤
y ≤ b, 0 ≤ z ≤ c dengan syarat-syarat batas (2a), (2b) dan (2c). Dalam daftar pustaka 1
dapat kita peroleh bahwa penyelesaian analitik persamaan (1) dengan syarat-syarat
batas (2a), (2b) dan (2c) adalah
u(x, y,z) = ∞ ∞ d sin(πmx/a)sin(πny/b)sinh(l z)/sinh(l c) (4)
∑∑ mn mn mn
m=1 n=1
di mana
4 b a
dmn = ab ∫ ∫ f(x,y)sin(πmx/a)sin(πny/b)dxdy (5)
y=0 x=0
dan
m2 n2
lmn = π a2 + b2 . (6)
Penyelesaian analitik persamaan (1) dalam kubus 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ a, 0 ≤ z ≤ a
dengan syarat-syarat batas
u(0, y, z) = 0, u(a, y, z) = 0, bila 0 ≤ y ≤ a, 0 ≤ z < a (7a)
u(x, 0, z) = 0, u(x, a, z) = 0, bila 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ z < a (7b)
u(x, y, 0) = 0, u(x, y, a) = f(x, y), bila 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ a (7c)
adalah
∞ ∞
u(x, y,z) = ∑∑dmnsin(πmx/a)sin(πny/a)sinh(lmnz)/sinh(lmna),(8)
m=1 n=1
di mana
4 a a
dmn = a2 ∫ ∫ f (x, y)sin(πmx/a)sin(πny/a)dxdy (9)
y=0 x=0
dan
l = π m2 +n2 (10)
mn a
yaitu sebagai kejadian khusus dari kejadian di atas di mana a = b = c.
PENYELESAIAN NUMERIK
Dalam bagian ini kita membahas penyelesaian numerik dari persamaan (1) di
titik-titik (ih, jh, kh), i, j, k = 1, 2,…, a/h-1 dengan a/h bilangan bulat positif dalam
kubus 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ a, 0 ≤ z ≤ a dengan syarat-syarat batas (3a), (3b) dan (3c).
Menggunakan persamaan (1) dapat diperoleh formula beda hingga
u(ih, jh,kh) = {u((i +1)h, jh,kh)+u((i −1)h, jh,kh)+u(i,(j +1)h,kh)
+u(i,(j −1)h,kh)+u(ih, jh,(k +1)h)+u(ih, jh,(k −1)h) }/6 (11)
di mana i, j, k = 1, 2,…, a/h-1.
Dengan mensubstitusikan harga-harga i, j, k = 1, 2,…, a/h-1 ke dalam
3
persamaan (11) kita peroleh sistem persamaan linier yang terdiri dari (a/h-1)
persamaan, yaitu
u(h,h,h) ={u(2h,h,h)+u(0,h,h)+u(h,2h,h)+u(h,0,h)
+u(h,h,2h)+u(h,h,0)}/6
u(h,h,2h) ={u(2h,h,2h)+u(0,h,2h)+u(h,2h,2h)+u(h,0,2h)
+u(h,h,3h)+u(h,h,h)}/6
K
u(h,h,a−h) ={u(2h,h,a−h)+u(0,h,a−h)+u(h,2h,a−h)+u(h,0,a−h)
+u(h,h,a)+u(h,h,a−2h)}/6
u(h,2h,h) ={u(2h,2h,h)+u(0,2h,h)+u(h,3h,h)+u(h,h,h)
+u(h,2h,2h)+u(h,2h,0)}/6
u(h,2h,2h) ={u(2h,2h,2h)+u(0,2h,2h)+u(h,3h,2h)+u(h,h,2h)
+u(h,2h,3h)+u(h,2h,h)}/6
K
u(h,2h,a−h) ={u(2h,2h,a−h)+u(0,2h,a−h)+u(h,3h,a−h)+u(h,h,a−h)
+ u(h,2h,a)+u(h,2h,a−2h)}/6
K
u(h,a−h,h) ={u(2h,a−h,h)+u(0,a−h,h)+u(h,a,h)+u(h,a−2h,h)
+ u(h,a − h,2h) + u(h,a − h,0)}/6
u(h,a−h,2h) ={u(2h,a−h,2h)+u(0,a−h,2h)+u(h,a,2h)+u(h,a−2h,2h)
+u(h,a−h,3h)+u(h,a−h,h)}/6
K
no reviews yet
Please Login to review.
