DISTRIBUSI GAMMA 
                       
                      Ada  beberapa  distribusi  penting  dalam  distribusi  uji  hidup,  salah  satunya  adalah 
                      distribusi gamma.  
                       
                      A.  Fungsi kepadatan peluang (fkp) 
                               Fungsi kepadatan peluang (fkp) dari distribusi gamma dengan dua parameter 
                      yaitu p dan σ adalah sebagai berikut: 
                                          1    xp1        x
                                                               
                                f x               exp         ,    x  0, σ  0, p  0 
                                                  p            
                                        Γp                σ
                                                σ              
                      dimana:            Г(p) = (p-1)! adalah fungsi gamma. 
                        Nilai mean dari distribusi gamma adalah: 
                                                 
                                         Ex x fxdx
                                                 
                                                 0
                                                       1    xp1        x
                                               x                 exp       dx
                                                                             
                                                               p
                                                      Γp                σ
                                                 0            σ                                             
                                                  1 xp             x            1 xp            x
                                                             exp      dx                 exp       dx
                                                                                                     
                                                          p                              p
                                                   Γp              σ          Γp                 σ
                                                 0       σ                           0 σ             
                                                                                   
                                              σΓ p1  σp!  σ p1!p σ p
                                                                                 
                                                    Γ p           p1!          p1!
                                          
                                              2     2
                                                           
                                         E x     x  f x dx
                                                   
                                                   0
                                                         1    xp1        x
                                               x2                  exp      dx
                                                                              
                                                                 p
                                                        Γp                σ
                                                 0             σ                                                       
                                                  1 xp1             x            1 xp1             x
                                                               exp      dx                   exp       dx
                                                                                                         
                                                            p                               p
                                                   Γp                σ          Γp                   σ
                                                 0        σ                            0 σ               
                                                                                                 
                                                 σΓ p2                       σ p1!p p1
                                                                 σ p1!
                                                                                                                      
                                                                                                     σp p1
                                                                                         
                                                    Γ p             p1!                 p1!
                        Nilai varians dari distribusi gamma adalah: 
                      Fitriani Agustina                                                                                          1 
                      Jurusan Pendidikan Matematika 
                      UPI 
                       
                                                                   2             2
                                                                         
                                                                               
                                                Var x E x             E x
                                                                    2                     2
                                                                            
                                                                                      
                                                           σ p  p  σ p  
                                                               2   2              2   2
                                                                                       
                                                          σ p σpσ p
                                                         σp
                          B.  Fungsi survivor 
                                     Fungsi  survivor  adalah  peluang  suatu  individu  atau  objek  masih  tetap  hidup 
                          sampai dengan waktu t yang telah ditentukan. Fungsi survivor didefinisikan sebagai 
                          berikut: 
                                                                          
                                      S t P T t 1P T t
                                                r                    r                      dimana F(t) adalah fungsi distribusi. 
                                                    
                                      S t 1F t
                                                         
                                                             
                                                 S t       f  x dx
                                                         
                                                          t
                                                          1 xp1                 x
                                                                                       
                                                    
                                                 S t                      exp           dx
                                                                                       
                                                                      p                          
                                                            Γp                    σ
                                                          t          σ                 
                                                             t    1     xp1          x
                                                                                           
                                                    
                                                 S t 1                       exp           dx
                                                                                           
                                                                          p
                                                                Γp                    σ
                                                             0           σ                 
                                                                      
                                                 S t 1I p,σ,x
                                     Fungsi survivor distribusi gamma yang kita peroleh adalah suatu fungsi survivor 
                          distribusi gamma dalam bentuk eksplisit. Kita membiarkan fungsi survivor distribusi 
                          gamma dalam bentuk eksplisit karena untuk menyelesaikan pengintegralan yang ada 
                          dalam rumus diatas  pengintegralannya cukup rumit  
                                      
                          C.  Fungsi hazard 
                                     Karena  fungsi  survivor  distribusi  gamma  tidak  dalam  bentuk  eksplisit,  maka 
                          fungsi hazardnya juga tidak dalam bentuk eksplisit juga. Fungsi hazard didefinisikan 
                          sebagai berikut: 
                          Fitriani Agustina                                                                                                              2 
                          Jurusan Pendidikan Matematika 
                          UPI 
                           
                                                            1
                                                   
                                        h t F' t 
                                                              
                                                          S t
                                                           1                           
                                                  
                                        h t  f t 
                                                            
                                                         S t
                                                       1 tp1              t
                                                                    exp        
                                                                p              
                                                    Γp                    σ
                                                             σ                 
                                             
                                                      1 tp1                  t
                                                1                     exp         
                                                                                   
                                                                   p
                                                        Γp                    σ
                                                     0           σ                 
                             
                            D.  Fungsi hazard kumulatif 
                            Fungsi hazard kumulatif pun tidak bisa kita nyatakan dalam bentuk implisit, karena 
                            fungsi hazardnya sendiri dinyatakan dalam bentuk eksplisit. Fungsi hazard kumulatif 
                            didefinisikan sebagai berikut: 
                                                  t
                                                     
                                        H t  h x dx
                                                  
                                                  0
                                                           1 tp1              t
                                                                        exp                   
                                                  t                 p              
                                                        Γp                    σ
                                                                 σ                 
                                            
                                        H t                                              dx
                                                        t    1 tp1               t
                                                  01                      exp         
                                                                                       
                                                                       p
                                                            Γp                    σ
                                                         0           σ                 
                             
                            E.  Estimasi 
                                       Misalkan  X1,X2,,Xn adalah variabel random dari waktu-waktu kegagalan 
                            dan variabel random itu berdistribusi Gamma dengan parameter p dan σ. 
                            1.  Sampel lengkap 
                                             Suatu sampel dikatakan sampel lengkap apabila ada sebanyak n objek yang 
                                  ditempatkan pada pengujian dan pengujian dihentikan  setelah  semua  item objek 
                                  mati. 
                                  o  Fungsi kepadatan peluang (fkp) bersama dari X1,X2,,Xn adalah: 
                                                                                          n
                                                                                                           
                                               f x ,x ,,x                  p,σ n!           f x      p,σ
                                                                                   
                                                     1     2            n                           i
                                                                                         i1
                                  o  Fungsi likelihoodnya adalah: 
                            Fitriani Agustina                                                                                                                     3 
                            Jurusan Pendidikan Matematika 
                            UPI 
                             
                                                                                           n
                                                                                                           
                                               L p,σx ,x ,,x                      n!         f x      p,σ
                                                                                    
                                                            1      2           n                     i
                                                                                          i1
                                                                                           n     1     xp1            x
                                                                                                                           
                                                                                 
                                               L p,σx ,x ,,x                      n!                         exp                                
                                                                                                                           
                                                                                   
                                                            1      2           n                           p
                                                                                               Γp                     σ
                                                                                          i1           σ                  
                                                                                                                          n
                                                                                                                                 
                                                                                                                            x 
                                                                                                                          i n
                                                                                                  n     np            i1              p1
                                                                                             
                                                                                                
                                               Lp,σx ,x ,,x                       n! Γ p            σ       exp                        x
                                                                                                                           
                                                           1      2            n                                                           i
                                                                                                                          σ         i1
                                                                                                                                 
                                                                                                                                 
                                                                                                                                 
                                                                                                                      n
                                                                                                                              
                                                                                                                             
                                                                                                                        x 
                                                                                                                              
                                                                                               n                      i
                                                                                                                             
                                                                                 n np             p1             i1       
                                                                             
                                                                                
                                               ln L p,σ ln n! Γ p                   σ             x      exp
                                                                                              i                             
                                                                                                                              
                                                                                              i1                     σ
                                                                                                                             
                                                                                                                              
                                                                                                                             
                                                                                                                                        
                                                                                                                             
                                                                                                                              
                                                                                                                                 n
                                                                                                                                     x
                                                                                                                  n              i
                                                                                                                                i1
                                                                                                             
                                                             ln n!nln Γ p npln σ p1                              ln x 
                                                                                                                  i
                                                                                                                 i1               σ
                                        Nilai           maksimum                 dari                                akan            dicapai            apabila 
                                                                                                L σ, p xi
                                                                                             
                                         ln L σ, p xi 0 atau ln L σ, p xi 0. 
                                                 σ                                 p
                                                                              n                                            n                                  n
                                                                                 x                                             x                                 x
                                                                              i                                           i                                i
                                                            
                                         ln L σ, p xi  np  i1                      sehingga  0 np  i1                       dan 0np i1                    
                                                                                 2                                            2
                                                                                                                   ˆ                                            ˆ
                                                 σ                  σ                                             σ                                           σ
                                                                                                                            ˆ
                                                                              σ                                             σ
                                                                         n
                                                                             x
                                                                         i
                                                                        i1
                                        dan kita peroleh  ˆ                      .  
                                                                  σ np
                                        Berdasarkan hasil estimasi tehadap  σ yang kita peroleh diatas, maka kita dapat 
                                                                                                                  2
                                                                                                               σ
                                                                              ˆ                      ˆ                                      ˆ
                                        membuktikan bahwa  E σ σ dan Var σ  np . Distribusi dari  σ merupakan 
                                        distribusi gamma dengan parameter np dan                                σ . 
                                                                                                               np
                            Seperti kita ketahui  X1,X2,,Xn adalah distribusi identik independen (iid) yang 
                                                                                                                                                              n
                            berdistribusi  gamma  dengan  parameter  p  dan  σ,  oleh  karena  itu  maka                                                         x  
                                                                                                                                                             i
                                                                                                                                                             i1
                            Fitriani Agustina                                                                                                                      4 
                            Jurusan Pendidikan Matematika 
                            UPI