ALJABAR LOGIKA 
                              (EKUIVALENSI PROPOSISIONAL) 
                                         Drs. C. Jacob, M.Pd 
                                       Email: cjacob@upi.edu 
                    
                   SUATU  TIPE  PENTING  DR  LANGKAH  YG  DIGUNAKAN  DLM 
                   SUATUARGUMEN       MATEMATIS       ADALAH     “MENEMPATKAN 
                   KEMBALI”  SUATU  PERNYATAAN  DGN  PERNYATAAN  LAIN  DGN 
                   NILAI   KEBENARAN  YG  SAMA.  KRN  INI  METODE  YG 
                   MENGHASILKAN PROPOSISI DGN NILAI KEBENARAN YG SAMA 
                   SEPERTI  PROPOSISI  MAJEMUK  YG  DIBERIKAN,  DIGUNAKAN 
                   SECARA EKSTENSIF DLM KONSTRUKSI ARGUMEN MATEMATIS. 
                    
                   MARILAH  KITA  DISKUSIKAN  SUATU  KLASIFIKSI  PROPOSISI 
                   MAJEMUK MENURUT NILAI KEBENARANNYA YG MUNGKIN. 
                    
                   DEF:    SUATU PROPOSISI MAJEMUK YG SELALU BENAR, BUKAN 
                           MATERI APA NILAI KEBENARAN PROPOSISI YG TERJADI 
                           DIDLMNYA, INI DISEBUT “TAUTOLOGY.” PROPOSISI YG 
                           SELALU SALAH DISEBUT “KONTRADIKSI.” SEDANGKAN 
                           PROPOSISI  YG  BUKAN  TAUTOLOGY  &  JUGA  BUKAN 
                           KONTRDIKSI      DISEBUT    “KONTINGENSI/KONTINGEN” 
                           (“CONTINGENCY/CONTINGENT”). 
                    
                   CONTOH 1:  p   p  T (TAUTOLOGY) (LIH. TABEL KEBENARAN) 
                    
                   CONTOH 2:  p   p  F (KONTRADIKSI)(LIH. TABEL KEBENARAN) 
                   CONTOH  3:       SILAHKAN BERIKAN CONTOH KONTINGENSI!!! 
                    
                    
                   CATATAN: 
                    
                   1.  SIMBOL  ,     MENYATAKAN  “IMPLIKASI” 
                   2.  SIMBOL           MENYATAKAN “BIIMPLIKASI” 
                   3.  SIMBOL            MENYATAKAN“EKUIVALENSI  LOGIS” 
                    
                    
                   1.  SIMBOL           MENYATAKAN “IMPLIKASI” 
                   2.  SIMBOL           MENATAKAN “BIIMPLIKASI” 
                   3.  SIMBOL            MENYATAKAN “EKUIVAALENSI LOGIS” 
                    
                    
                    
                    
                                                  1 
                 
                 
                 
                EKUIVALENSI LOGIS (LOGICAL EQUIVALENCES) 
                 
                PROPOSISI MAJEMUK YG SELALU MEMILIKI NILAI KEBENARAN 
                YG SAMA DISEBUT “EKUIVALEN SECARA LOGIS” (“LOGICALLY 
                EQUIVALENT”) 
                 
                DEF: PROPOSISI p DAN q DISEBUT “EKUIVALEN SECARA LOGIS” 
                      JIKA  p  q  ADALAH SUATU TAUTOLOGY. NOTASI  p  q 
                      MENYATAKAN BHW  p  DAN  q  “EKUIVALEN SECARA 
                      LOGIS” 
                 
                CATATAN:     p    q  (p    DAN  q  “EKUIVALEN  SECARA  LOGIS”) 
                             (SUMBER LAIN) 
                 
                CONTOH 4:    TUNJUKKAN BHW   (p  q) DAN            p  q  
                             EKUIVALEN  SECARA  LOGIS.  EKUIVALENSI  INI 
                             ADALAH  SALAH  SATU  DARI    “DE  MORGAN’S 
                             LAW” UTK PROPOSISI. 
                 
                CONTOH 5:    TUNJUKKAN BHW  p  q  DAN              p  q  
                             ADALAH “EKUIVALEN SECARA LOGIS.” 
                 
                CONTOH 6:  TUNJUKKAN BHW PROPOSISI   
                             p    (q    r)    DAN    (p    q)    (p    r)  EKUIVALEN 
                             SECARA    LOGIS  INI  ADALAH  “HUKUM 
                             DISTRIBUTIF DR DISJUNGSI ATAS KONJUNGSI. 
                 
                CONTOH 7:    TUNJUKKAN BAHWA “HUKUM DISTRIBUTIF DARI 
                             KONJUNGSI     ATAS    DISJUNGSI   ADALAH 
                             “EKUIVALEN SECARA LOGIS.” 
                 
                 
                 
                 
                 
                 
                 
                 
                 
                 
                 
                 
                 
                                           2 
            TABLE 1. EKUIVALENSI LOGIS (LOGICAL EQUIVALENCES) 
                    EQUIVALENCE                            NAME                   
                    p  T  p                           IDENTITY LAWS 
                    p  F  p                                                                                                            
                    p  T T                       DOMINATION LAWS                              
                    p  F  F  
                    p  p  p                      IDEMPOTENT LAWS 
                    p  p  p 
                 p( p)  p           DOUBLE NEGATION LAW      
                    p  q  q  p           COMMUTATIVE LAWS 
                    p  q  q  p 
             (p  q)  r  p  (q  r)    ASSOCIATIVE LAWS     
             (p  q)  r  p  (q  r)          
             p  (q  r)  (p  q)  (p  r)   DISTRBTV LAWS  
             p  (q  r)  (p  q)  (p  r) 
                 (p  q)   p   q    DE MORGAN’S LAWS 
                 (p  q)   p   q 
             p  (p  q)  p                     ABSORPTION LAWS 
             p  (p  q)  p 
           
           
           
              TABLE 2. SOME USEFUL LOGICAL EQUIVALENCES 
                        p   p  T 
                        p   p  F 
                      (p  q)  ( p  q) 
           
           
           
          EKUIVALENSI DLM TABLE 1, & JUGA SETIAP EKUIVALENSI LOGIS 
          LAINNYA  YG  TELAH  DITETAPKAN  (SEPERTI  TABLE  2)  DPT 
          DIGUNAKAN UTK KONSTRUKSI EKUIVALENSI LOGIS TAMBAHAN 
           
          CONTOH 8: TUNJUKKAN BHW   (p  ( p  q)) DAN  p   q 
                  EKUIVALEN SECARA LOGIS 
           
          SOLUSI:  
          CARA I:   GUNAKAN TABEL KEBENARAN 
          CARAII:  KEMBANGKAN  SEDERETAN  EKUIVALENSI  LOGIS,  DGN 
                GUNAKAN SALAH SATU EKUIVALENSI DLM TABLE 1 
                PD  SUATU  SAAT,  MULAI  DGN      (p    (  p    q))  & 
                BERAKHIR DGN   p   q 
           
           
                          3 
                                                                                                             
                                    
                                    
                                    
                                   (p  ( p  q))                           p   ( p  q)  (DE MORGAN’S LAWS II) 
                                                                              p  [( p)   q]                         (DE 
                                                                              MORGAN’S LAWS I) 
                                                                 p  (p   q)                       (DOUBLE NEGATION 
                                                                              LAWS) 
                                                                  p  p)  ( p   q) (DISTRIBUTIVE LAWS) 
                                                                 F  ( p   q)        (KRN                   p  p  F) 
                                                                   p   q       (Q.E.D) 
                                    
                                    
                                    
                                   CONTOH 9: TUNJUKKAN BHW (p  q)  (p  q) ADALAH SUATU 
                                                                 “TAUTOLOGY” 
                                    
                                   SOLUSI:  
                                   CARA I:   GUNAKAN TABEL KEBENARAN 
                                   CARA II: GUNAKAN SDRTN EKUIVALENSI LOGIS 
                                    
                                   (p  q)  (p  q)  (p  q)  (p  q))    (DGN CONTOH 5) 
                                                                                      ( p   q)  (p  q)                (DE 
                                                                                       MORGAN’S LAWS I) 
                                                                                      ( p  p)  ( q  q) (ASS.&COMM FOR 
                                                                                       DISJU) 
                                                                         T  T  (CONTOH 1 & COMM FOR DISJUNC) 
                                                                         T         (DOMINATION LAW) 
                                            
                                         
                                    
                                    
                                    
                                    
                                    
                                    
                                    
                                    
                                    
                                    
                                    
                                    
                                          
                                    
                                                                                              4