Filetype PDF | Diposting 26 Aug 2022 | 3 thn lalu
Authentication
digital resources
231x Tipe PDF Ukuran file 2.34 MB Source: lms-paralel.esaunggul.ac.id
TRANSFORMASILINIER
Pendahuluan
Pada banyak bidang matematika, seringkali diinginkan untuk menghubungkan anggota dari
suatu himpunan dengan anggota pada himpunan lainnya, dan dengan demikian konsep
suatufungsi
f :S (T , dibentuk.
Sebagai contoh, dalam kalkulus variabel tunggal,S danT biasanya adalah himpunan bagian
sederhanadariR . Pada bab ini akan dipelajari fungsi
f :V (W
denganV danW adalahruangvektoratasfield yangsama.
1.DEFINISI TRANSFORMASI LINIER UMUM
Transformasi linier umum adalah sebuah fungsi yang memetakan suatu
ruang vector B ke suatu ruang vector C, sehingga variable A dinyatakan sebagai
transformasi linier dari B ke C. Pernyataan tersebut ditunjukkan pada skema
dibawahini :
Jika A : B C
Variabel akan disebut sebagai transformasi linier jika semua vector u dan v yang ada
padaB
dansemuascalarc,seperti:
T(u + v) = T(u) + T(v)
T(cu) = cT(u)
Transformasilinier akan tampak terlihat jelas jika B = C dan akan dinyatakan
dalambentuk A: B (B yang disebut dengan operator linier pada B.
Transformasi linier memiliki beberapa fungsi yang perlu dipelajari.
Fungsi-fungsi tersebut antara lain :
Fungsibernilai real. Contoh : f(x) = 2x + sin x
;
; Fungsi merupakan fungsi 2 variabel. Contoh: f(x,y) = 2(x+y)
; Fungsi merupakan fungsi n variable.
Contoh: f(x , x ,….,x ) = a x + a x + … + a x
1 2 n 1 1 2 2 n n
; Fungsi bernilai vektor. Contoh: f(t) = (2t + 1,t)
; Fungsi merupakan fungsi 2 variabel bernilai vektor.
Contoh: F(x,y) = (cos x, sin y)
n m
2.FUNGSI DARI R KE R
Fungsi adalah aturan yang mengkaitkan setiap x elemen di daerah
n m
definisi di R ke f(x) elemen di daerah hasil di R . Fungsi diatas disebut juga
n m
transformasi dai R ke R . Sistem persamaan linear (SPL) dapat dinyatakan
m
dalamperkalianmatriksvektor, seperti: =A ,dimana vektor di R
n
sedangkan vektor di R kemudian A matriks mxn.Matriks diseb
ut matriks standard untuk transformasi linier T. Sedangkan
transformasi nol dinyatakan dengan dan transformasi identitias
dinyatakan dengan .
Transformasi linier dari jika memiliki
invers berupa .
n m
Jika daerah asal suatu fungsif adalah R dan daerah kawannya adalah R m( dann mungkin sama),
n m n m
makaf disebutsuatupetaatautransformasidariR keR dandikatakanbahwaf memetakanR keR .
Untuk mengilustrasikan suatu cara penting dimana transformasi bisa muncul, anggapf ,f , …,f
1 2 n
adalah fungsi-fungsi bernilai real darin peubah real:
w =f x( ,x , …,x )
1 1 1 2 n
w =f x( ,x , …,x )
2 2 1 2 n
…
w =f x( ,x , …,x )
m m 1 2 n
m
m persamaan tersebut menempatkan suatu titik w( ,w , …,w ) dalam R ke setiap titik x( ,x , …,x )
1 2 m 1 2 n
n n m
dalamR,yangmendefinisikansuatutransformasidariR keR ,yangdapatdinyatakansebagai:
T x( ,x , …,x ) =w( ,w , …,w )
1 2 n 1 2 m
dimanaT adalahtransformasiyangterbentuk.
Contoh:
2 3
Diketahui transformasiT :R ( R ¬ yang didefinisikan sebagai berikut:
2 2
w ¬ =x +x ;w =3x x ;w =x –x
1 1 2 2 1 2 3 1 2
makabayangantitikx( x, ) adalah:
1 2
2 2
T x( x, ) =x( +x , 3x x ,x –x )
1 2 1 2 1 2 1 2
Jika diandaikanx =2 danx =-1, makaT (2,-1) = (1, -6, 3)
1 2
n m
TransformasiLinear dari R ke R
n m
Untuktransformasilinear, secara umumT :R ( R dapat didefinisikan sebagai berikut:
w =a x +a x +…+a x
1 11 1 12 2 n1 n
w =a x +a x +…+a x
2 21 1 22 2 2n n
…
w =a x +a x +…+a x
m m 1 1 m 2 2 mn n
atau dalam notasi matriks:
w a a L a x
æ ö æ öæ ö
1 11 12 1n 1
ç ÷ ç ÷ç ÷
w a a L a x
ç ÷ ç ÷ç ÷
2 21 22 2 n 2
=
ç ÷ ç ÷ç ÷
M M M M M M
ç ÷ ç ÷ç ÷
ç ÷ ç ÷ç ÷
w a a L a x
m m1 m2 mn n
è ø è øè ø
atau dapat diringkas menjadi: W =Ax.
dimanaA adalahmatriksstandaruntuktransformasilinearT
Contoh:
4 3
TransformasilinearT :R ( R didefinisikan oleh:
w 1 = 2x 1 – 3x 2+ 5x 3
w 2 = 5x 1 –x 2+ 3x 3+ 2x 4
w 3 = 4x 2+x 3+ 4x 4
Ketiga persamaantersebut dapat dinotasikan sebagai:
x
æ ö
1
ç ÷
w 2 -3 5 0
æ ö æ ö
1
ç ÷ ç ÷
x
ç ÷
2
w = 5 -1 3 2
ç ÷ ç ÷
2
ç ÷
x
3
ç ÷ ç ÷
ç ÷
w 0 4 1 4
3
è ø è ø
ç ÷
x
4
è ø
2 -3 5 0
æ ö
ç ÷
SehinggamatriksstandaruntuktransformasitersebutadalahA: = 5 -1 3 2
ç ÷
ç ÷
0 4 1 4
è ø
Bayangantitikx( ,x ,x ,x ) dapat dihitung dari ketiga persamaan awal atau dari notasi matriksnya.
1 2 3 4
Jikax( ,x ,x ,x ) = (1, -1, 2, 0) maka hasil transformasinya adalah:
1 2 3 4
1
æ ö
ç ÷
w 2 -3 5 0 15
æ ö æ ö æ ö
1
ç ÷ ç ÷ ç ÷
-1
ç ÷
w = 5 -1 3 2 = 12
ç ÷ ç ÷ ç ÷
2
ç ÷
2
ç ÷ ç ÷ ç ÷
ç ÷
w 0 4 1 4 -2
3
è ø è ø è ø
ç ÷
0
è ø
Macam-macamTransformasiLinear
Terdapat 4 transformasi linear yang dibahas yaitu:
1. Refleksi (Pencerminan)
2. Proyeksi
3. Rotasi (Perputaran)
4. Dilatasi (Penskalaan)
Refleksi (Pencerminan)
2
Refleksi di R terbagi menjadi 3 yaitu:
· Refleksi terhadap sumbu y
Titik awal:x( y, ); Titik akhir: (x- y, )
Persamaan:w 1=x- ; w 2 =y
-1 0
æ ö
Matriks standar: ç ÷
ç ÷
0 1
è ø
· Refleksi terhadap sumbu x
Titik awal:x( y, ); Titik akhir:x( ,y- )
Persamaan:w 1=x;w 2=y-
1 0
æ ö
Matriks standar: ç ÷
ç ÷
0 -1
è ø
· Refleksi terhadap garis x = y
no reviews yet
Please Login to review.
