vè;k; 12
                  jSf[kd izksxzkeu Linear Programming
                   The mathematical experience of the student is incomplete if he never had
                
                   the opportunity to solve a problem invented by himself. — G POLYA 
              12.1  Hkwfedk (Introduction)
              fiNyh d{kkvksa esa ge jSf[kd lehdj.kksa vkSj fnu izfr fnu dh
              leL;kvksa esa muosQ vuqiz;ksx ij fopkjfoek dj pqosQ gSa d{kk
              XI esa geus nks pj jkfk;ksa okys jSf[kd vlfedkvksa vkSj jSf[kd
              vlfedkvksa  osQ fudk;ksa osQ vkys[kh; fui.k ls gy fudkyus osQ
              fok;  esa  vè;;u  dj  pqosQ  gSa  xf.kr  esa  d­  vuqiz;ksxksa  esa
              vlfedkvksa€lehdj.kksa osQ fudk; lf‚efyr gSa ­l vè;k; esa ge
              jSf[kd vlfedkvksa€lehdj.kksa osQ fudk;ksa dk uhps nh x­ oqQN
              okLrfod ƒhou dh leL;kvksa dks gy djus esa mi;ksx djsaxs
                  „d iQuhpj …;kikjh nks oLrqvksa ƒSls es”k vkSj oqQ£l;ksa dk
              …;olk; djrk gS fuosk osQ fy„ mlosQ ikl Rs ˆ‰Š‰‰‰ vkSj
              j[kus osQ fy„ osQoy ‹‰ oLrqvksasa osQ fy„ LŒkku gS „d es”k ij
              Rs Žˆ‰‰ vkSj „d oqQlh ij Rs ˆ‰‰ dh ykxr vkrh gS og         L. Kantorovich
                                                     Rs Žˆ‰ vkSj „d oqQlh dks ‘spus ls Rs ’ˆ dk
              vuqeku yxkrk gS fd „d es”k dks ‘spdj og 
              yk“k dek ldrk gS eku yhfƒ„ fd og l“kh oLrqvksasa dks ‘sp ldrk gS fƒudks fd og [kjhnrk
              gS r‘ og ƒkuuk pkgrk gS fd fdruh es”kksa „oa oqQfl;ksa dks [kjhnuk pkfg„ rkfd miy”• fuosk
              jkfk ij mldk ldy yk“k vf•dre gks
                  ­l izdkj dh leL;kvksa fƒuesa lkek–; izdkj dh leL;kvksa esa yk“k dk vf•drehdj.k vkSj
              ykxr dk –;—urehdj.k [kksƒus dk iz;kl fd;k ƒkrk gSŠ ­˜redkjh leL;k„¡ dgykrh gSa vrš
              ­˜redkjh leL;k esa vf•dre yk“kŠ –;—ure ykxr ;k lalk•uksa dk –;—ure mi;ksx lf‚efyr gS
                  jSf[kd izksxzkeu leL;k„¡ „d foksk ysfdu „d egÙoi—.k izdkj dh ­˜redkjh leL;k gS vkSj
              mijksœr mfžyf[kr ­˜redkjh leL;k “kh „d jSf[kd izksxzkeu leL;k gS mŸksxŠ okf.k¡;Š
              iz‘a•u fo¢ku vkfn esa foLr£r lqlaxrrk osQ dkj.k jSf[kd izksxzkeu leL;k„¡ v¤;f•d egÙo dh gSa
                  ­l vè;k; esaŠ ge oqQN jSf[kd izksxzkeu leL;k„¡ vkSj mudk vkys[kh fof• ¥kjk gy fudkyus
              dk vè;;u djsaxs ;Ÿfi ­l izdkj leL;kvksa dk gy fudkyus osQ fy„ v–; fof•;k¡ “kh gSa
                                                  2022-23
                                             xf.kr
                                             jSf[kd izksxzkeu leL;k vkSj mldk xf.krh; lw=khdj.k 
                                             
                                             ge viuk fopkj foe'kZ mijksDr mnkgj.k osQ lkFk izkjaHk djrs gSa tks fd nks pj jkf'k;ksa oky le;k
                                             osQ xf.kr; lkdj.k vFkok xf.kr; izfri dk ekxZn'kZu djsxk  l mnkgj.k esa geus è;kuioZd
                                             ns€kk fd
                                                             ‚;kikj viu ƒu jkf'k dks es”kksa ;k o…QflZ;ksa ;k nksuksa osQ la;kstuksa esa fuos'k dj ldrk gS
                                                                 losQ vfrfjDr og fuos'k osQ fofHk†u ;kstuk‡ed fofƒ;ksa ls fofHk†u ykHk dek losQxk
                                                            o…Qˆ vfƒd egÙoi.kZ fFkfr;k¡ ;k ‚;ojksƒksa dk Hk lekos'k gS tSls mldk fuos'k vfƒdre
                                                                ‹ŒŽŒŒŒ rd lfer gS rFkk mlosQ ikl vfƒdre ‘Œ or…vksasa dks j€kus osQ fy’ Fkku
                                                                miy“ƒ gS
                                                          eku yft’ fd og dks Z o…QlZ uga €kjnrk osQoy es”kksa osQ €kjnus dk fu'p; djrk gSŽ
                                                                              ;k es”kksa dks €kjn ldrk gS  l fFkfr esa mldk ldy ykHk
                                              lfy’ og 
                                              ;k gksxk
                                                          eku yft’ fd og dks Z es”k u €kjndj osQoy o…Q£l;k¡ g €kjnus dk p;u djrk gS r•
                                                                                                 ‹ŒŽ ŒŒŒ d jkf'k esa vFkkZr– —ŒŒ o…Q£l;k¡ g €kjn ldrk
                                             og viu miy“ƒ 
                                             gS ijar… og osQoy ‘Œ uxksa dks g j€k ldrk gS vr˜ og ‘Œ o…Q£l;k¡ ekk €kjnus osQ fy’ •kè;
                                             gksxk ftlls mls ldy ykHk vFkkZr– 4500 g gksxk
                                                          ’sl vkSj Hk •g…r lkj laHkkouk’¡ gSa mnkgj.k osQ fy’ og —Œ es”kksa vkSj ‹Œ o…Q£l;k¡ €kjnus
                                             dk p;u dj ldrk gSŽ D;ksafd mlosQ ikl ‘Œ or…vksasa dks j€kus dk Fkku miy“ƒ gS  l fFkfr
                                             esa mldk ldy ykHk vFkkZr–  ‡;kfn
                                                          vr˜ ge ™kr djrs gSa fd iQuZpj ‚;kikj fofHk†u p;u fofƒ;ksa osQ škjk viu ƒu jkf'k dk
                                             fuos'k dj ldrk gS vkSj fofHk†u fuos'k ;kstukvksa dks viukdj fofHk†u ykHk dek losQxk
                                                          v• le;k ;g gS fd mls viu ƒu jkf'k dks vfƒdre ykHk izk›r djus osQ fy’ fdl izdkj
                                             fuos'k djuk pkfg’œ  l iz'u dk mÙkj nsus osQ fy’ gesa le;k dk xf.kr; lkdj.k djus dk
                                             iz;kl djuk pkfg’
                                              leL;k dk xf.krh; lw=khdj.k 
                                             eku yft’ fd es”kksa d la€;kvkSj o…QflZ;ksa d la€;k gS ft†gsa iQuZpj ‚;kikj €kjnrk gS
                                             ižŸr˜ vkSj  ½.ksrj gSaŽ vFkkZr–
                                                                  ½.ksrj ‚;ojksƒ                                                                                                                                                                                                         
                                                                                                                                                                                                                                                                                   
                                                                                
                                             D;kasfd es”kksa vkSj o…QflZ;ksa d la€;k ½.kk‡ed uga gks ldr gS
                                                                                                                                                                  2022-23
                                                                                jSf€kd izksxzkeu
                   ‚;kikj ¢‚;olk;£ ij vfƒdre ƒu jkf'k ¢;gk¡ ;g ‹ŒŽŒŒŒ gS£ dk fuos'k djus dk
               ‚;ojksƒ gS vkSj ‚;olk; osQ ikl osQoy vfƒdre or…vksasa ¢;gk¡ ;g ‘Œ gS£ dks j€kus osQ fy’
               Fkku dk Hk ‚;ojksƒ gS
               xf.kr; i esa ‚;Dr djus ij
                                       fuos'k ‚;ojksƒ 
               ;k                                                               
               vkSj                                  laxzg.k ‚;ojksƒ            
                   ‚;olk;  l izdkj ls fuos'k djuk pkgrk gS mldk ykHk ¢ekuk£ vfƒdre gks vkSj ftls
               vkSj osQ iQyu osQ i esa fu¤ufyf€kr izdkj ls ‚;Dr fd;k tk ldrk gS˜
               mís'k; iQyu dgykrk gS
               iznÙk le;k dk v• xf.kr; i esa ifjofrZr gks tkr gS˜
               dk vfƒdredj.k dft’
               tgk¡ ‚;ojksƒ fu¤ufyf€kr gS
                                             
                                              
                                           
                    lfy’ gesa jSf€kd iQyu  dk vfƒdredj.k djuk gS t•fd ½.ksrj pjksa oky jSf€kd
               vlfedkvksa osQ i o…Qˆ fo'ksžk fFkfr;ksa osQ ‚;ojksƒ ‚;Dr fd’ x’ gSa o…Qˆ v†; le;k’¡ Hk
               gSa ftuesa jSf€kd iQyu dk †;uredj.k fd;k tkrk gS t•fd ½.ksrj pj oky jSf€kd vlfedkvksa
               osQ i esa o…Qˆ fo'ksžk fFkfr;ksa osQ ‚;ojksƒ ‚;Dr fd’ tkrs gS ’sl le;kvksa dks jSf€kd izksxzkeu
               le;k dgrs gSa
                                                                 vkSj tSls o…Qˆ vusd pjksa osQ ’d
                   vr˜ ’d jSf€kd izksxzkeu le;k og le;k gS tks fd 
               jSf€kd iQyu  ¢tks fd mís'; iQyu dgykrk gS£ dk  žŸre l…laxr¦vu…oQyre l…laxr eku
               ¢vfƒdre ;k †;ure eku£ ™kr djus ls la•afƒr gS izfr•aƒ ;g gS fd pj ½.ksrj i.kk±d gSa vkSj
               ;s jSf€kd vlfedkvkas osQ le…¨p; jSf€kd ‚;ojksƒksa dks lar…žŸ djrs gSa jSf€kd in ls rk‡i;Z gS fd
               le;k esa lHk xf.kr; la•aƒ jSf€kd gSa t•fd izksxzkeu ls rk‡i;Z gS fd fo'ksžk izksxzke ;k fo'ksžk
               fØ;k ;kstuk ™kr djuk
                   vkxs •ª«us ls ioZ ge v• o…Qˆ inksa ¢ftudk iz;ksx Åij gks p…dk gS£ dks vkSipkfjd i ls
               ifjHkkfžkr djsaxs ftudk fd iz;ksx ge jSf€kd izksxzke le;kvksa esa djsaxs˜
                                      t•fd vpj  gS ftudk vfƒdredj.k ;k
               mís'; iQyu jSf€kd iQyu
               †;uredj.k gksuk gS ’d jSf€kd mís'; iQyu dgykrk gS
                                                    2022-23
         xf.kr
           mijksDr mnkgj.k esa ’d jSf€kd mís'; iQyu gS pj vkSj  fu.kkZ;d
         pj dgykrs gSa
         O;jks ’d jSf€kd izksxzkeu le;k osQ pjksa ij jSf€kd vlfedkvksa ;k ledj.k ;k izfr•aƒ
         ‚;ojksƒ dgykrs gSa izfr•aƒ 
                       ½.ksrj ‚;ojksƒ dgykrs gSa mijksDr mnkgj.k esa ¢—£
         ls ¢®£ rd vlfedkvksa dk le…¨p; ‚;ojksƒ dgykrs gSa
         re ll xr leL;k­¡ fuf'pr ‚;ojksƒksa osQ vƒu vlfedkvksa osQ le…¨p; škjk fuƒkZfjr le;k
         tks pjksa ¢;Fkk nks pj 
                    vkSj £ esa jSf€kd iQyu dks vfƒdre ;k †;ure djsŽ  žŸre l…laxr
         le;k dgykr gS jSf€kd izksxzkeu le;k’¡ ’d fof'kžŸ izdkj d  žŸre l…laxr le;k gS
         l…laxr le;k ‚;kikj škjk es”kksa rFkk o…QflZ;ksa d €kjn esa iz;…Dr ’d  žŸre l…laxr le;k rFkk
         jSf€kd izksxzkeu d le;k dk ’d mnkgj.k gS
           v• ge foospuk djsaxs fd ’d jSf€kd izksxzkeu le;k dks fdl izdkj gy fd;k tkrk gS
          l vè;k; esa ge osQoy vkys€k; fofƒ ls g la•afƒr jgsaxs
         jSf[kd izksxzkeu leL;kvksa dks gy djus dh vkys[kh; fof/ 
         
         d¯kk esa ge l€k p…osQ gS fd fdl izdkj nks pjksa vkSj ls la•afƒr jSf€kd vledj.k
         fudk;ksa dk vkjs€k €kaprs gSa rFkk vkjs€k; fofƒ škjk gy ™kr djrs gSa v• gesa vu…¨ˆsn —°±°
         esa foospu d g… Z es”kksa vkSj o…QflZ;ksa esa fuos'k d le;k dk m²ys€k djsaxs v• ge  l le;k
         dks vkjs€k škjk gy djsaxs v• gesa jSf€kd vledj.kksa osQ i iznÙk ‚;ojksƒksa dk vkjs€k €kapsa˜
                 
                   
                        
                        
            l fudk; dk vkjs€k ¢ˆk;kafdr ¯ksk£ esa
         vledj.kksa ¢—£ ls ¢®£ rd osQ škjk fu;r
         lHk vƒZryksa osQ mHk;fuž³ ¯•n…vksa ls fufeZr gSa
          l ¯ksk esa iz‡;sd ¯•n… ‚;kikj ¢‚;olk;£ dks
         es”kksa vkSj o…QflZ;ksa esa fuos'k djus osQ fy’ l…laxr
         fod²i izr…r djrk gS  lfy’ ;g ¯ksk le;k
         dk l…laxr ¯ksk dgykrk gS ¢vkoµQfr —°±—£  l
         ¯ksk  dk  iz‡;sd  ¯•n…  le;k  dk  l…laxr  gy
         dgykrk gS                      vk‚Qfr
                              2022-23