FINITE ELEMENT METHOD
                        AbdusamadA.Salih
                      Department of Aerospace Engineering
                   Indian Institute of Space Science and Technology
                      Thiruvananthapuram - 695547, India.
                           salih@iist.ac.in
         ii
                  Contents
                  1 Introduction                                                                                      3
                      1.1   Finite Difference Method      . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    4
                      1.2   Finite Element Method      . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    5
                            1.2.1   Direct Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       5
                            1.2.2   Variational Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      5
                            1.2.3   Weighted Residual Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .          5
                  2 Direct Approach to Finite Element Method                                                          7
                      2.1   Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      7
                      2.2   Linear Spring System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      7
                      2.3   Solution of System of Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      11
                      2.4   Direct Approach to Steady-Sate Heat Conduction Problem . . . . . . . . . . . .           13
                  3 Calculus of Variations                                                                           15
                      3.1   Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     15
                      3.2   Functionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    15
                      3.3   First Variation of Functionals   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   16
                      3.4   The Fundamental Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        22
                      3.5   Maxima and Minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        22
                            3.5.1   Maxima and minima of functionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .         23
                      3.6   The Simplest Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       25
                            3.6.1   Essential and natural boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . .      28
                            3.6.2   Other forms of Euler–Lagrange equation       . . . . . . . . . . . . . . . . .   28
                            3.6.3   Special cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    29
                      3.7   Advanced Variational Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        30
                            3.7.1   Variational problems with high-order derivatives     . . . . . . . . . . . . .   30
                            3.7.2   Variational problems with several independent variables      . . . . . . . . .   31
                      3.8   Application of EL Equation: Minimal Path Problems . . . . . . . . . . . . . . .          31
                            3.8.1   Shortest distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    31
                            3.8.2   The brachistochrone problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        32
                            3.8.3   Deflection of beam – variational formulation . . . . . . . . . . . . . . .        36
                                                                    iii
                 CONTENTS                                                                                          1
                     3.9   Construction of Functionals from PDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      38
                     3.10 Rayleigh–Ritz Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      40
                 4 Weighted Residual Methods                                                                     45
                     4.1   Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   45
                     4.2   Point Collocation Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     48
                     4.3   Subdomain Collocation Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       55
                     4.4   Least Square Method     . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  57
                     4.5   Galerkin Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    59
                 5 Finite Element Method                                                                         65
                     5.1   Finite Element Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     65
                           5.1.1   Steps in FEM    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  65
                           5.1.2   Selection of Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    66
                           5.1.3   One-dimensional Linear Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     67
                           5.1.4   One-dimensional Quadratic Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      70
                     5.2   Two-dimensional Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     71
                           5.2.1   Linear Triangular Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    72
                           5.2.2   Bilinear Rectangular Element    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  73
                     5.3   Finite Element Equations    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  74