4.1 Antiderivatives and Indefinite Integration
                       Objectives: •Write the general solution of a differential 
                                  equation.
                                  •Use indefinite integral notation for 
                                  antiderivatives
                                  •Use basic integration rules to find 
                                  antiderivatives
                     Assignment: pg. 255 #’s 2‐44 even
                                            Exploration
                       For each derivative, describe the original function F. 
                             a. 'Fx( )  2x
                             b. 'Fx( )  x
                                          2
                             c. 'Fx( )  x
                             d. 'Fx( )  1
                                         x2
                             e. 'Fx( )  1
                                         x3
                             f. 'Fx( ) cosx
                                  Definition of Antiderivative
                      A function F is an antiderivative of f on an interval 
                         Fx'( )  f(x)
                      I if             for all x in I. 
                       You can represent the entire family of 
                       antiderivatives of a function by adding a constant to 
                       a known antiderivative. 
                                                        2
                                          then f()xx    C
                               F'(xx)  2
                           The constant C is called the constant of 
                           integration. 
                                                                                                                                                                     1
                                                Notation for Antiderivatives
                                 When solving a differential equation of the form
                                                                    dy  f ()x
                                                                    dx
                                 It is convenient to write in the equivalent differential 
                                 form dy  f ()x dx
                                 The operation of finding all solutions of this 
                                 equation is called antidifferentiation (or indefinite 
                                 integration) and is denoted by an integral sign ∫.
                                                     yf()xdxF()xC
                                                          
                                                              Variable of 
                                                              integration                 Constant of 
                                                                                          integration
                                                     yf()xdxF()xC
                                                          
                                                          Integrand          An 
                                                                             antiderivative 
                                                                             of f (x)
                              The expression ∫ f (x)dx is read as the antiderivative of 
                              f with respect to x. So, the differential dx serves to 
                              identify x as the variable of integration. The term 
                              indefinite integral is a synonym for antiderivative. 
                                                     Basic Integration Rules
                                                       Differentiation Formulas
                               d                                               d sinxxcos
                                    C 0                                          
                               dx                                           dx
                               d                                               d cosxxsin
                                    kx k                                         
                               dx                                           dx
                               d                                               d                  2
                                                                                   tan xxsec
                                                                                 
                                    kf ()x   kf ()x
                               dx                                           dx
                               d                                               d secx secxxtan
                                                          
                                    f ()xg()x f()xg()x
                               dx dx
                               d                                               d                    2
                                      nn1                                         cot     csc
                                                                                        xx
                                                                                
                                    xn x                                     dx
                               dx 
                                                                               d cscx cscxxcot
                                                                              dx
                                                                                                                                                                                                                                            2
                                           Basic Integration Rules
                                             Integration Formulas
                                                                               sin x  C
                                                                          xdx
                        0 dxC                                     cos  
                                                                               cosxC
                          kd  x                                       sin xd  x
                               kx   C                            
                                                                      sec2xd  x
                          kf ()x  dx  kf()xdx                                 tan x  C
                                       
                                                                      sec tan        secxC
                            f ()xg  ()xdx                               x    xdx
                          
                                            f()xdx       g(xd)x
                                               
                                    xn1                                 2
                            n                                         csc    
                                 Cn,   1                             xdxcotxC
                         xd  xn1
                                                                      cscxcotxd  x
                                                                                   cscx C
                         Find the general solution of the differential equation. 
                                                    dy 3x
                                                    dx
                                                       Examples
                            Original          Rewrite         Integrate         Simplify
                             Integral
                              1 dx
                            x3
                               xdx
                          2sinx dx
                                                                                                                                                                                                 3
                 (2x  ) dx
                     42
                   35x xxdx
                           
                  x1dx
                    x
                  sin x dx
                 cos2 x
                                                                                                                       4