1 
                
                                      BAB I 
                                  PENDAHULUAN 
                                          
               A.  Latar Belakang 
                     Kalkulus  adalah  cabang  dari  matematika  yang  dikembangkan  dari 
                 aljabar dan geometri  serta memiliki cakupan limit, turunan, integral dan deret 
                 tak terhingga. Kata kalkulus berasal dari Bahasa Latin calculus, yang artinya 
                 “batu kecil”, untuk menghitung. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam 
                 bidang sains, ekonomi dan tekhnik. Sir Isac Newton dan Gottfried Wilhelm 
                 Leibniz merupakan ahli matematika yang memberikan kontribusi besar dalam 
                 mengembangkan kalkulus. Newton mengaplikasikan kalkulus secara umum 
                 ke bidang fisika, sementara Leibniz mengembangkan notasi – notasi kalkulus 
                 yang banyak digunakan sekarang. Kedua ilmuwan tersebut mengembangkan 
                 kalkulus  dari  metode  yang  berbeda.  Newton  memulai  dari  kalkulus 
                 diferensial sedangkan Leibniz memulai dari kalkulus integral. 
                     Kalkulus mempunyai dua cabang utama, yaitu kalkulus diferensial dan 
                 kalkulus  integral.  Kalkulus  diferensial  merupakan  ilmu  yang  mempelajari 
                 tentang turunan suatu fungsi. Sedangkan kalkulus integral merupakan ilmu 
                 yang mempelajari definisi, sifat - sifat, dan aplikasi dari dua konsep yang 
                 terkait, yaitu integral tak tentu dan integral tentu.  F(x)disebut anti turunan 
                 dari  f (x)pada  selang  I  jika  F'(x)  f (x)untuk  xI .  Sedangkan  proses 
                 mencari  anti  turunan  disebut  dengan  integrasi  (integral).  Jika f terdefinisi 
                                   
                 pada  selang  a,b ,  selang  a,b   dibagi  menjadi  n  selang  bagian  dengan 
                                        1 
                                       Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
                                                                                                               2 
                          
                              panjang      , dan jika       n            untuk        ada, maka       dikatakan 
                                        x             lim     f (x )x         x I               f
                                          i            P0        i   i         i
                                                            i1
                                                                              b
                              terintegralkan pada     . Lebih lanjut notasi   f (x)d(x)disebut integral tentu 
                                                    a,b
                                                                              
                                                                              a
                                                                     b                  n
                              (integral Riemann) f dari a ke b dan     f (x)d(x)  lim     f (x )x . 
                                                                                        i i
                                                                                  P0
                                                                     a                  i1
                                    Leonida  Tonelli  adalah  seorang  ahli  matematika  dari  Italia  yang 
                              merumuskan sebuah teorema integrasi yang dikenal dengan nama “Teorema 
                              Tonelli”. Dalam matematika, untuk menyelesaikan integral dimensi-n dapat 
                              dilakukan  dengan  Teorema  Fubini  dan  Teorema  Tonelli  (Yee,  2000). 
                              Teorema Fubini berlaku pada fungsi  yang terintegral, sedangkan Teorema 
                              Tonelli bekerja pada fungsi yang terukur dan non negatif. 
                                    Dalam Teorema Fubini jika terdapat fungsi  f : AB  R merupakan 
                                                                                   n
                              fungsi  yang  terintegral  pada  interval  AB  R   dan         f x, ydxdy   
                                                                                            
                                                                                            AB
                                                                
                              maka  dx f x,y dy  dy f x,y dx. Jika suatu proses pengintegralan tidak 
                                                        
                                     A   B             B   A
                              dapat diselesaikan secara langsung maka proses pengintegralan tersebut tetap 
                              dapat diselesaikan dengan cara diubah urutan pengintegralannya. Tetapi jika 
                                  f x, ydxdy  dapat diartikan integral dari nilai absolut fungsi  f x, y 
                               
                              AB
                                                                                                  
                              tidak  terbatas  maka  dapat  disimpulkan  nilai  dari         f x, y dxdy   tidak 
                                                                                           
                                                                                          AB
                                                                            
                              terdefinisi  dan    dx f x,y dy  dy f x,y dx  (Prasetyoningsih,  2012). 
                                                                    
                                                 A   B             B   A
                              Terdapat kesulitan dalam penerapan Teorema Fubini, yaitu perlu menentukan 
                                                                   Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
                                                                                    3 
                    
                       keterintegralan dari fungsi  f  pada  J  AB. Terlepas dari itu, ketika fungsi 
                       f  terbatas dan terukur, Teorema Fubini akan sulit diterapkan (Yee, 2000). 
                       Untuk  itu  perlu  dikaji  lebih  lanjut  penyelesaian  untuk  fungsi  terbatas  & 
                       terukur  yaitu menggunakan Teorema Tonelli. Selanjutnya dalam penelitian 
                       ini  akan  dikaji  lebih  lanjut  penyelesaian  permasalahan  integral  dimensi-n 
                       menggunakan Teorema Tonelli. Dan dari uraian di atas dapat dirumuskan 
                       suatu permasalahan bagaimana penyelesaian integral dimensi-n menggunakan 
                       Teorema Tonelli?. 
                             
                             
                   B.  Rumusan Masalah 
                            Berdasarkan  latar  belakang  yang  dikemukakan  di  atas,  dapat 
                       dirumuskan  pokok  permasalahan  dalam  penelitian  ini  sebagai  berikut, 
                       bagaimana penyelesaian integral dimensi-n dengan menggunakan Teorema 
                       Tonelli? 
                             
                             
                   C.  Tujuan 
                            Berdasarkan perumusan masalah di atas, maka tujuan dari penelitian ini 
                       adalah menentukan penyelesaian integral dimensi-n menggunakan Teorema 
                       Tonelli. 
                             
                             
                                                   Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013
                                                                                                                           4 
                             
                            D.  Manfaat 
                                 Adapun manfaat yang diharapkan dari penelitian ini adalah: 
                                 1.    Untuk meningkatkan pengetahuan tentang penggunaan Teorema Tonelli 
                                       dalam  penyelesaian  integral  dimensi-n  bagi  pemerhati  analisis  pada 
                                       umumnya dan peneliti pada khususnya. 
                                 2.    Memberi  masukan  bagi  peneliti  yang  ingin  mengkaji  lebih  lanjut 
                                       mengenai integral dimensi-n. 
                                 3.    Integral dimensi-n dapat diaplikasikan untuk membantu menyelesaikan 
                                       permasalahan dalam bidang fisika. 
                                        
                                        
                                        
                                        
                                        
                                        
                                        
                                        
                                        
                                        
                                        
                                        
                                        
                                        
                                                                           Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013