2C2 Multivariate Calculus
                Michael D. Alder
                November 13, 2002
           2
                   Contents
                   1 Introduction                                                                      5
                   2 Optimisation                                                                      7
                      2.1   The Second Derivative Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . .           7
                   3 Constrained Optimisation                                                        15
                      3.1   Lagrangian Multipliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        15
                   4 Fields and Forms                                                                23
                      4.1   Definitions Galore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       23
                      4.2   Integrating 1-forms (vector fields) over curves. . . . . . . . . .         30
                      4.3   Independence of Parametrisation         . . . . . . . . . . . . . . . .   34
                      4.4   Conservative Fields/Exact Forms . . . . . . . . . . . . . . . .           37
                      4.5   Closed Loops and Conservatism . . . . . . . . . . . . . . . . .           40
                   5 Green’s Theorem                                                                 47
                      5.1   Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      47
                            5.1.1    Functions as transformations . . . . . . . . . . . . . . .       47
                            5.1.2    Change of Variables in Integration       . . . . . . . . . . .   50
                            5.1.3    Spin Fields    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   52
                      5.2   Green’s Theorem (Classical Version)         . . . . . . . . . . . . . .   55
                                                             3
                            4                                                                      CONTENTS
                                5.3   Spin fields and Differential 2-forms       . . . . . . . . . . . . . . .   58
                                      5.3.1   The Exterior Derivative      . . . . . . . . . . . . . . . . .   63
                                      5.3.2   For the Pure Mathematicians. . . . . . . . . . . . . . .         70
                                      5.3.3   Return to the (relatively) mundane. . . . . . . . . . . .        72
                                5.4   More on Differential Stretching       . . . . . . . . . . . . . . . . .   73
                                5.5   Green’s Theorem Again        . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   87
                            6 Stokes’ Theorem (Classical and Modern)                                          97
                                6.1   Classical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    97
                                6.2   Modern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
                                6.3   Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
                            7 Fourier Theory                                                                 123
                                7.1   Various Kinds of Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
                                7.2   Function Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
                                7.3   Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
                                7.4   Fiddly Things      . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
                                7.5   Odd and Even Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
                                7.6   Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
                                7.7   Differentiation and Integration of Fourier Series . . . . . . . . 150
                                7.8   Functions of several variables     . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
                            8 Partial Differential Equations                                                  155
                                8.1   Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
                                8.2   The Diffusion Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
                                      8.2.1   Intuitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
                                      8.2.2   Saying it in Algebra     . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
                                8.3   Laplace’s Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165