Calculus II Lecture Notes
                                      DavidM.McClendon
                                 DepartmentofMathematics
                                      Ferris State University
                             2016edition
                        c
                        
2016DavidM.McClendon
                                 1
                                                      Contents
                    Contents                                                                                      2
                    1 ReviewofCalculusI                                                                           5
                        1.1   Limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    7
                        1.2   Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    11
                        1.3   Thedefiniteintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       14
                        1.4   Homeworkexercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .          19
                    2 Basicintegrationtechniques                                                                 24
                        2.1   Integrals to memorize . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      25
                        2.2   Rewriting the integrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        28
                        2.3   Elementaryu-substitutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        29
                        2.4   Morecomplicatedu-substitutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .           35
                        2.5   Homeworkexercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .          41
                    3 Intermediateintegrationtechniques                                                          44
                        3.1   Integration by parts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     44
                        3.2   Partial fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    48
                        3.3   Summaryofintegrationtechniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .             56
                        3.4   Mathematica commandsforintegration . . . . . . . . . . . . . . . . . .             56
                        3.5   Homeworkexercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .          57
                    4 Improperintegrals                                                                          61
                        4.1   Boundednessvs. unboundedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .             61
                        4.2   Horizontally unboundedregions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .            63
                        4.3   Vertically unbounded regions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .         66
                        4.4   Theoretical approaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       71
                        4.5   Homeworkexercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .          77
                                                                   2
                                                                                                         Contents
                    5 Applicationsoftheintegral                                                                  80
                        5.1   Area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   80
                        5.2   Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     87
                        5.3   General principles behind all applications of integration . . . . . . . .          96
                        5.4   Arclength . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      97
                        5.5   One-dimensionalmomentsandcentersofmass . . . . . . . . . . . . . 100
                        5.6   Two-dimensionalmomentsandcentersofmass. . . . . . . . . . . . . 105
                        5.7   Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
                        5.8   Homeworkexercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
                    6 Parametricequations                                                                       130
                        6.1   Introduction to parametric equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
                        6.2   Parametric equations of common graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
                        6.3   Calculus with parametric equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
                        6.4   Transformations on parametric equations . . . . . . . . . . . . . . . . 153
                        6.5   Homeworkexercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
                    7 Introductiontoinfiniteseries                                                               162
                        7.1   Motivation and big-picture questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
                        7.2   Convergenceanddivergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
                        7.3   Σ-notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
                        7.4   Elementaryproperties of convergence and divergence . . . . . . . . . 172
                        7.5   Changingindices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
                        7.6   Homeworkexercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
                    8 GeometricseriesandtheRatioTest                                                            180
                        8.1   Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
                        8.2   TheGeometricSeriesTest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
                        8.3   Applications of geometric series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
                        8.4   TheRatioTest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
                        8.5   Homeworkexercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
                    9 Convergencetestsforpositiveseries                                                         204
                        9.1   Classifying series according to sign . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
                        9.2   TheIntegral Test; harmonic and p-series . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
                        9.3   Thenth-termTest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
                        9.4   TheComparisonTest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
                        9.5   Homeworkexercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
                    10 Absoluteandconditionalconvergence                                                        218
                        10.1 Alternating series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
                        10.2 The triangle inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
                        10.3 Absolute and conditional convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
                                                                                                                  3
                                                                                         Contents
                     10.4 Rearrangementofinfiniteseries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
                     10.5 Summaryofclassificationtechniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
                     10.6 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
                     10.7 Homeworkexercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
                 11 Taylor series                                                             236
                     11.1 Uniqueness of power series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
                     11.2 Applications of Taylor series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
                     11.3 General theory of power series  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
                     11.4 Homeworkexercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
                 Index                                                                        263
                                                                                                 4