Partial Differential Equations
                    Lecture Notes
                    Erich Miersemann
                  Department of Mathematics
                    Leipzig University
                   Version October, 2012
               2
                         Contents
                         1 Introduction                                                                      9
                            1.1   Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        11
                            1.2   Equations from variational problems . . . . . . . . . . . . . .           15
                                  1.2.1    Ordinary differential equations . . . . . . . . . . . . .         15
                                  1.2.2    Partial differential equations      . . . . . . . . . . . . . .   16
                            1.3   Exercises     . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   22
                         2 Equations of first order                                                         25
                            2.1   Linear equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        25
                            2.2   Quasilinear equations       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   31
                                  2.2.1    Alinearization method        . . . . . . . . . . . . . . . . .   32
                                  2.2.2    Initial value problem of Cauchy . . . . . . . . . . . . .        33
                            2.3   Nonlinear equations in two variables . . . . . . . . . . . . . .          40
                                  2.3.1    Initial value problem of Cauchy . . . . . . . . . . . . .        48
                                                               n
                            2.4   Nonlinear equations in R        . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   51
                            2.5   Hamilton-Jacobi theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .          53
                            2.6   Exercises     . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   59
                         3 Classification                                                                   63
                            3.1   Linear equations of second order . . . . . . . . . . . . . . . .          63
                                  3.1.1    Normal form in two variables . . . . . . . . . . . . . .         69
                            3.2   Quasilinear equations of second order . . . . . . . . . . . . . .         73
                                  3.2.1    Quasilinear elliptic equations . . . . . . . . . . . . . .       73
                            3.3   Systems of first order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       74
                                  3.3.1    Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       76
                            3.4   Systems of second order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .         82
                                  3.4.1    Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       83
                            3.5   Theorem of Cauchy-Kovalevskaya . . . . . . . . . . . . . . . .            84
                                  3.5.1    Appendix: Real analytic functions . . . . . . . . . . .          90
                                                                   3
                                 4                                                                CONTENTS
                                     3.6  Exercises   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
                                 4 Hyperbolic equations                                                    107
                                     4.1  One-dimensional wave equation . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
                                     4.2  Higher dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
                                          4.2.1   Case n=3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
                                          4.2.2   Case n = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
                                     4.3  Inhomogeneous equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
                                     4.4  Amethod of Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
                                     4.5  Initial-boundary value problems . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
                                          4.5.1   Oscillation of a string . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
                                          4.5.2   Oscillation of a membrane . . . . . . . . . . . . . . . . 128
                                          4.5.3    Inhomogeneous wave equations . . . . . . . . . . . . . 131
                                     4.6  Exercises   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
                                 5 Fourier transform                                                       141
                                     5.1  Definition, properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
                                          5.1.1   Pseudodifferential operators . . . . . . . . . . . . . . . 146
                                     5.2  Exercises   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
                                 6 Parabolic equations                                                     151
                                     6.1  Poisson’s formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
                                     6.2  Inhomogeneous heat equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
                                     6.3  Maximum principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
                                     6.4  Initial-boundary value problem . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
                                          6.4.1   Fourier’s method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
                                          6.4.2   Uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
                                     6.5  Black-Scholes equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
                                     6.6  Exercises   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
                                 7 Elliptic equations of second order                                      175
                                     7.1  Fundamental solution     . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
                                     7.2  Representation formula     . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
                                          7.2.1   Conclusions from the representation formula     . . . . . 179
                                     7.3  Boundary value problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
                                          7.3.1   Dirichlet problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
                                          7.3.2   Neumann problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
                                          7.3.3   Mixed boundary value problem . . . . . . . . . . . . . 183
                                     7.4  Green’s function for △ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
                                          7.4.1   Green’s function for a ball . . . . . . . . . . . . . . . . 186