Abrief introduction to Semi-Riemannian geometry and
                     general relativity
                       Hans Ringstr¨om
                       May 5, 2015
          2
                       Contents
                       1 Scalar product spaces                                                                                  1
                           1.1   Scalar products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    1
                           1.2   Orthonormal bases adapted to subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .         3
                           1.3   Causality for Lorentz scalar product spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        4
                       2 Semi-Riemannian manifolds                                                                              7
                           2.1   Semi-Riemannian metrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        7
                           2.2   Pullback, isometries and musical isomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .          8
                           2.3   Causal notions in Lorentz geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      10
                           2.4   Warped product metrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      11
                           2.5   Existence of metrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    11
                           2.6   Riemannian distance function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      12
                           2.7   Relevance of the Euclidean and the Minkowski metrics . . . . . . . . . . . . . . . .          13
                       3 Levi-Civita connection                                                                                15
                           3.1   The Levi-Civita connection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      15
                           3.2   Parallel translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  18
                           3.3   Geodesics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   20
                           3.4   Variational characterization of geodesics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     22
                       4 Curvature                                                                                             25
                           4.1   The curvature tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    25
                           4.2   Calculating the curvature tensor      . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
                           4.3   The Ricci tensor and scalar curvature      . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  27
                           4.4   The divergence, the gradient and the Laplacian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        29
                           4.5   Computing the covariant derivative of tensor fields . . . . . . . . . . . . . . . . . .        29
                                 4.5.1   Divergence of a covariant 2-tensor field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     30
                           4.6   An example of a curvature calculation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       31
                                 4.6.1   Computing the connection coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .         32
                                 4.6.2   Calculating the components of the Ricci tensor . . . . . . . . . . . . . . . .        33
                           4.7   The 2-sphere and hyperbolic space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       34
                                                                            i
                       ii                                                                                       CONTENTS
                                4.7.1   The Ricci curvature of the 2-sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   35
                                4.7.2   The curvature of the upper half space model of hyperbolic space . . . . . .         36