Lecture notes on
                     sub-Riemannian geometry
                          from the Lie group viewpoint
                             by Enrico Le Donne.
                         http://enrico.ledonne.googlepages.com/
                            Version of February 2021
                             Contents
                             0 Abrief introduction*                                                                                        1
                                0.1   About these lecture notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .           1
                                0.2   What sub-Riemannian geometry is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .               1
                                0.3   Structure of these lecture notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .          2
                                0.4   Sub-Riemannian geometries as models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .               5
                             1 The main example: the Heisenberg group                                                                     13
                                1.1   An isoperimetric problem on the plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .           13
                                1.2   The contact-geometry formulation of the problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .             14
                                1.3   The Heisenberg group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .          17
                                1.4   The subRiemannian Heisenberg group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .              20
                                1.5   Exercises    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    32
                             2 Areview of metric and differential geometry                                                                 35
                                2.1   Metric geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .         35
                                2.2   Differential geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        48
                                2.3   Length structures for Finsler manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .         51
                                2.4   Exercises    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    54
                             3 The general theory of Carnot-Carath´eodory spaces                                                          57
                                3.1   The definition of Carnot-Carath´eodory spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .            57
                                3.2   Chow’s Theorem and existence of geodesics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .             62
                                3.3   Equiregular Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .         67
                                3.4   Ball-Box Theorem and Hausdorff dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .               68
                                3.5   Exercises    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    72
                                                                                    i
                                                                          0- CONTENTS                           May 16, 2021
               4 Areview of Lie groups                                                                                      75
                  4.1   Lie groups and their Lie algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .         75
                  4.2   Exponential map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .         78
                  4.3   The General Linear Group, its Lie algebra, and its exponential map              . . . . . . . . .   81
                  4.4   Exercises    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    84
               5 SubFinsler Lie groups                                                                                      89
                  5.1   Left-invariant polarizations on Lie groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .          89
                  5.2   SubRiemannian extrema on subRiemannian groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                 91
                  5.3   Regular abnormal extremals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .          97
               6 Nilpotent Lie groups and Carnot groups                                                                     99
                  6.1   Stratified Lie algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       111
                  6.2   Carnot groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      115
                  6.3   Adeeper study of Carnot groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .           119
                  6.4   Exercises    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   129
               7 Limits of Riemannian and subRiemannian manifolds                                                         133
                  7.1   Limits of metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      133
                  7.2   Limits of Carnot-Carath´eodory distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .         135
                  7.3   Asymptotic cones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       140
                  7.4   Tangent spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       146
                  7.5   Ametric characterization of Carnot groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .            152
               8 Visual boundaries of hyperbolic spaces*                                                                  155
                  8.1   CAT(-1) spaces and visual boundary* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .            156
                  8.2   Preliminary notions for rank-one symmetric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . .            157
                  8.3   The K-hyperbolic n-space KHn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .           161
                  8.4   The K-Heisenberg groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .          162
                  8.5   Isometries of hyperbolic spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        164
                  8.6   Hyperbolic spaces as semidirect products          . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  170
                  8.7   The visual distance for K-hyperbolic spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .          183
                  8.8   The octonionic hyperbolic plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        187
                                     ii